Estimación del tiempo de recorrido

Para  calcular el tiempo de recorrido es necesario dividir el problema en 2 sub-problemas, en el primero tenemos 2 fuerzas interactuando con el bote, la fuerza de arrastre y la fuerza del chorro, mientras que en el segundo, sólo actúa la fuerza de arrastre.

Fase 1:

En esta parte nos concentraremos en determinar la velocidad inicial de la embarcación que nos permitirá, que luego utilizaremos como condición inicial de la fase 2.

La velocidad la podemos calcular igualando los impulsos al cambio en la cantidad de movimiento:

Para nuestro caso se tiene:

Realizando varias pruebas sobre el tiempo del impacto del chorro sobre la placa, consideraremos que en promedio el tiempo será de 1.9 segundos. Como previamente hemos calculado el valor de la fuerza del chorro (29.8 Newton), la que se asumió constante al no variar el nivel de la altura del agua con el tiempo y la masa del bote, que con la botella en conjunto pesan 5 kg , sólo nos resta determinar el valor de la fuerza de arrastre.

 La fuerza de arrastre esta dada por:

Donde Cd es el coeficiente de arrastre, que es un parámetro adimensional que depende del número de Reynold`s. Sin embargo, para números de Reynold`s  grandes el coeficiente de arrastre permanece constante y depende solo de la geometría de la figura, como se puede apreciar en el  siguiente  gráfico:

El  número  Reynold`s corresponde a, 

y para nuestro caso es grande ya que,

Lo que implica que:

En la siguiente tabla se puede apreciar algunos valores de Cd para ciertas geometrías:

En nuestro caso utilizaremos  el de una barra de triangulo equilátero con el extremo afilado hacia adelante, cuyo valor es 1.4.

Por lo tanto, planteamos la ecuación de la siguiente forma:

Utilizando maple, podemos resolver esta ecuación agregando condiciones iniciales:

Luego el valor de la velocidad final de la primera fase es de aproximadamente 2.06 m/s

Fase 2:

                En esta parte utilizaremos el valor de la velocidad final obtenida previamente como condición inicial y también estableceremos en base experimentos realizados en el canal de prueba que la trayectoria recorrida en los 1,9 segundos será de 1,22 metros. Luego, obtendremos una ecuación diferencial para resolver el movimiento del barco, lo que finalmente nos indicara el tiempo de recorrido. 

Ahora solo la fuerza de arrastre actúa sobre el bote por lo que la ecuación para el movimiento es:

Escrito en forma diferencial obtendríamos:

Remplazando con los valores que tenemos         

Con condiciones:

Con esta ecuación podemos obtener el tiempo en que el barco se va a demorar en recorrer los 5 metros. Para ellos evaluamos en x (t), los 3,78 metros que son los que tiene que avanzar en la segunda fase, ya que en la fase 1 ya se avanzaron 1,22 metros.

Nuevamente recurrimos a maple:

El tiempo total de recorrido corresponde a la suma del tiempo que duran ambos procesos, los 1.9 s del primero mas los 8.6 s que dura el segundo, finalmente el  barco recorre los 5 metros en un tiempo de 10.5 s

Dificultades:

                A lo largo de los experimentos realizados con el barco en el canal de prueba y en nuestras casas, nos dimos cuenta de que el barco flotaba más de lo que habíamos pensado, por lo que la superficie sumergida era mínima en comparación con el tamaño del barco. Este problema nos traería consecuencias en un ítem de evaluación, el que trata sobre: “la botella que se encuentra en la superficie del barco debe estar a 5 centímetros sobre el nivel de agua.”

Con el objetivo de poder solucionar el problema decidimos introducir peso al barco, agregar una quilla en su parte inferior y bajar un poco la superficie del barco, con la idea de que  la superficie sumergida aumentara y bajar la altura para no agregar  peso  excesivo y, por tanto, lograr que él ande más rápido.