Estimación del tiempo de recorrido

Para  calcular el tiempo de recorrido es necesario dividir el problema en 2 sub-problemas, en el primero tenemos 2 fuerzas interactuando con el bote, la fuerza de arrastre y la fuerza del chorro, mientras que en el segundo, sólo actúa la fuerza de arrastre.

Fase 1:

En esta parte nos concentraremos en determinar la velocidad inicial de la embarcación que nos permitirá, que luego utilizaremos como condición inicial de la fase 2.

La velocidad la podemos calcular igualando los impulsos al cambio en la cantidad de movimiento:

Para nuestro caso se tiene:

Realizando varias pruebas sobre el tiempo del impacto del chorro sobre la placa, consideraremos que en promedio el tiempo será de 1.9 segundos. Como previamente hemos calculado el valor de la fuerza del chorro (29.8 Newton), la que se asumió constante al no variar el nivel de la altura del agua con el tiempo y la masa del bote, que con la botella en conjunto pesan 5 kg , sólo nos resta determinar el valor de la fuerza de arrastre.

 La fuerza de arrastre esta dada por:

Donde Cd es el coeficiente de arrastre, que es un parámetro adimensional que depende del número de Reynold`s. Sin embargo, para números de Reynold`s  grandes el coeficiente de arrastre permanece constante y depende solo de la geometría de la figura, como se puede apreciar en el  siguiente  gráfico:

El  número  Reynold`s corresponde a, 

y para nuestro caso es grande ya que,

Lo que implica que:

En la siguiente tabla se puede apreciar algunos valores de Cd para ciertas geometrías:

En nuestro caso utilizaremos  el de una barra de triangulo equilátero con el extremo afilado hacia adelante, cuyo valor es 1.4.

Por lo tanto, planteamos la ecuación de la siguiente forma:

Utilizando maple, podemos resolver esta ecuación agregando condiciones iniciales:

Luego el valor de la velocidad final de la primera fase es de aproximadamente 2.06 m/s

Fase 2:

                En esta parte utilizaremos el valor de la velocidad final obtenida previamente como condición inicial y también estableceremos en base experimentos realizados en el canal de prueba que la trayectoria recorrida en los 1,9 segundos será de 1,22 metros. Luego, obtendremos una ecuación diferencial para resolver el movimiento del barco, lo que finalmente nos indicara el tiempo de recorrido. 

Ahora solo la fuerza de arrastre actúa sobre el bote por lo que la ecuación para el movimiento es:

Escrito en forma diferencial obtendríamos:

Remplazando con los valores que tenemos         

Con condiciones:

Con esta ecuación podemos obtener el tiempo en que el barco se va a demorar en recorrer los 5 metros. Para ellos evaluamos en x (t), los 3,78 metros que son los que tiene que avanzar en la segunda fase, ya que en la fase 1 ya se avanzaron 1,22 metros.

Nuevamente recurrimos a maple:

El tiempo total de recorrido corresponde a la suma del tiempo que duran ambos procesos, los 1.9 s del primero mas los 8.6 s que dura el segundo, finalmente el  barco recorre los 5 metros en un tiempo de 10.5 s

Dificultades:

                A lo largo de los experimentos realizados con el barco en el canal de prueba y en nuestras casas, nos dimos cuenta de que el barco flotaba más de lo que habíamos pensado, por lo que la superficie sumergida era mínima en comparación con el tamaño del barco. Este problema nos traería consecuencias en un ítem de evaluación, el que trata sobre: “la botella que se encuentra en la superficie del barco debe estar a 5 centímetros sobre el nivel de agua.”

Con el objetivo de poder solucionar el problema decidimos introducir peso al barco, agregar una quilla en su parte inferior y bajar un poco la superficie del barco, con la idea de que  la superficie sumergida aumentara y bajar la altura para no agregar  peso  excesivo y, por tanto, lograr que él ande más rápido.

Construyendo el Prototipo

Continuamos con la construcción de nuestro barco a escala en plumavit.

 

 Sin embargo cuando lo terminamos, lo probamos  y no floto en las condiciones que esperábamos, puesto que no se hundía lo suficiente en el agua.

Esto debido a que no poseía la masa suficiente. Intentamos agregarle pesos que alcanzar la masa requerida, pero esto hacia que nuestro barco hiciera mas esfuerzos al avanzar, haciéndolo mas lento. 

Por esta razón decidimos volver a construirlo en el material original (madera de balsa) pero haciendo unas pequeñas modificaciones en el diseño.

Finalmente lo probamos y comprobamos que funciona de la forma que queríamos:

Construccion de Prototipo

Comenzamos construyendo el prototipo en base a los materiales que habíamos especificado anteriormente.

Pero a medida que avanzamos con la confección nos dimos cuenta que el material escogido (madera de balsa) es demasiado complejo de trabajar, puesto que no es tan flexible como esperábamos, y no logramos darle la forma curva que deseábamos.

Por esta razon decidimos cambiar el material de construcción por plumavit.

 

Procedimiento Experimental

Para optimizar la velocidad de nuestra embarcación es necesario analizar los factores que determinan  el desempeño de ésta.  Del principio de conservación de la cantidad de movimiento podemos observar la relación que nos permitirá encontrar los procesos que intervienen en el desempeño del bote.

Si realizamos un análisis en los tres ejes principales obtendremos las siguientes expresiones:

En cada eje podemos diferenciar:

El análisis sobre el eje y, se realizo antes para establecer los valores y condiciones de estabilidad, donde W: es el peso de la botella mas el bote y E: es el empuje del fluido sobre el barco. Por otro lado, para el eje z sabemos que no hay fuerzas involucradas, ya que el movimiento del barco solo es en dos dimensiones.

Sin embargo, en el eje x se lleva a cabo todo el análisis de fuerzas.

Finalmente la ecuación que modela el movimiento es

Donde:

       

                El primer término del lado izquierdo se puede obtener fácilmente utilizando la ecuación de Bernoulli,  ya que conocemos las condiciones del sistema de propulsión, es decir, el área de salida, y la altura de la columna de agua, con las que podemos determinar la velocidad del chorro  y el caudal. El ángulo de desviación que mejor aprovecha la energía del chorro es beta =0 para estas condiciones Fi = 29.788 N. Por otra parte, Cd lo podemos obtener mediante un flujo con velocidad conocida, midiendo la fuerza que el flujo realiza sobre el bote con un dinamómetro  y despejando de:

              

  Con el objetivo de modelar la estructura física que tendrá el bote finalmente, nos planteamos la idea de establecer, primero que nada, una maqueta con las dimensiones obtenidas matemáticamente, para probar como serán las uniones entre los trozos de madera y de cómo se formara el casco del barco.

                

Análisis Hidrodinámico

    Para la modelación del barco necesitamos encontrar la formulación matemática de ciertas expresiones, con el objetivo de establecer cuanto será la fuerza de roce involucrada en el movimiento del barco, necesitamos medir la aceleración que se experimentara durante el movimiento y lo más importante deducir el tiempo de llegada en la trayectoria de los 5 metros.

    Para ello necesitaremos utilizar:

• Empuje.
  
• Peso (en que se incluye el pase del barco y el peso de la botella).
  
• Fuerza del impacto de chorro.
  
• Fuerza de roce.
  
• Aceleración.
  

Para calcular la fuerza de impacto de un chorro sobre la placa, se necesita saber cuánto será el gasto del flujo que saldrá por el estanque.

Si utilizamos la ecuación de la cantidad de movimiento para un fluido ideal:

De la cual podemos obtener la ecuación de euler con un fluido incompresible:

Si asumimos régimen permanente e irrotacional:

Lo que implica que se cumple la ecuación de Bernoulli.

    Con la ecuación de la conservación de la masa , en régimen permanente, y con un fluido incompresible obtenemos que el gasto es constante (Q=cte).

    Para llegar a esta ultima ecuación, se ve que se deben realizar un par de condiciones que nos alejan en los resultados un poco de la realidad física del problema, es por eso que obtendremos una expresión para el gasto en función de las variables de contracción.

    Como las dimensiones del estanque, el diámetro de salida del orificio, la forma del orificio de la salida del agua y la cantidad de agua en el estanque no son variables que podamos controlar asumiremos las siguientes consideraciones. Que la salida de agua se bastante semejante a una tobera, con lo que el Cv=1, y la contracción del área efectiva de salida del chorro será despreciable, por lo que Cc=1. Con lo que finalmente obtendremos que Q=A.V.

Utilizando la ecuación de Bernoulli en dos secciones:

• Superficie del estanque: En que estamos en presencia de presión atmosférica. La velocidad en la superficie del estanque será aproximadamente 0 y en que la altura será de 2 metros respecto del suelo.
  
• Salida de agua: En que estamos en presencia de presión atmosférica. La velocidad no sufrirá pérdidas por descarga y que la altura será de 40 centímetros.
  

Por lo que el gasto, con un diámetro de salida de 2,5(cm) y con un área

Así, el caudal seria:

 Equivalente a Q = 2,748 L/s

    Con el gasto medido podemos establecer cuál será la fuerza de impacto del chorro. Si utilizamos el teorema del transporte de Reynolds:

Con las consideraciones antes nombradas, estableceremos que:

Si consideramos el caso general en que existe un ángulo con respecto a la horizontal de salida del chorro al momento del impacto, las áreas que formaran los chorros al momento del impacto son semejantes en conjunto con el área del chorro original, que las velocidades son similares en ambas partes del impacto y que el estudio será respecto al eje Y, obtenemos la siguiente relación:

Si el peso del agua de salida lo consideramos despreciable:

Dentro de esta expresión se aprecia que la única variable que podemos controlar en nuestro barco es el ángulo que se forma con la horizontal, es por esto que si tomamos la magnitud de la fuerza, podemos diferenciar para encontrar la máxima fuerza de impacto que tendrá el chorro sobre el barco, así obtendremos una mayor aceleración, y por ende un mayor desplazamiento y un menor tiempo de recorrido.

Con esto obtenemos los puntos críticos que se dan en:

 

Lo que corresponde a valores de beta = 0+kPi con k = 0,+-1,+-2,...
Para diferenciar el valor que necesitamos entre 0 y Pi  tendremos que calcular:

De aquí obtenemos que será valor máximo cuando este valor es negativo, por lo tanto para beta = 0, obtenemos un máximo en la fuerza de impacto.

Es por eso, que ante estos tres dibujos de superficie de impacto elegiremos la tercera figura dado que esta presenta un ángulo de elevación beta = 0, para los otros casos tenemos beta = Pi/2, en que la fuerza es mínima, y un ángulo que va entre cero y Pi/2, lo que nos provocaría una fuerza que no es optima, respecto de la elegida.


La que se puede apreciar de la siguiente forma:

Finalmente con los datos obtenidos en todas las formulaciones podemos encontrar el valor de la fuerza: